ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78230
Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Решение

Пусть K, L, M и N — вершины правильных треугольников, построенных на сторонах BC, AB, AF и  FE; B1, A1 и F1 — середины отрезков KL, LM и  MN (рис.???). Пусть, далее, $ \vec{a}\,$ = $ \overrightarrow{BC}$ = $ \overrightarrow{FE}$, $ \vec{b}\,$ = $ \overrightarrow{AB}$ и  $ \vec{c}\,$ = $ \overrightarrow{AF}$; R — поворот на 60o, переводящий вектор $ \overrightarrow{BC}$ в  $ \overrightarrow{BK}$. Тогда $ \overrightarrow{AM}$ = - R2$ \vec{c}\,$ и  $ \overrightarrow{FN}$ = - R2$ \vec{a}\,$. Поэтому 2$ \overrightarrow{A_1B_1}$ = R2$ \vec{c}\,$ + R$ \vec{a}\,$ + $ \vec{b}\,$ и  2$ \overrightarrow{F_1A_1}$ = R2$ \vec{a}\,$ - $ \vec{c}\,$ + R$ \vec{b}\,$, т. е. $ \overrightarrow{F_1A_1}$ = R($ \overrightarrow{A_1B_1}$).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .