Задача 78230

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Решение

Пусть K, L, M и N — вершины правильных треугольников, построенных на сторонах BC, AB, AF и  FE; B₁, A₁ и F₁ — середины отрезков KL, LM и  MN (рис.???). Пусть, далее, = = , = и  = ; R — поворот на 60^o, переводящий вектор в  . Тогда = - R² и  = - R². Поэтому 2 = R² + R + и  2 = R² - + R, т. е. = R().

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2