Версия для печати
Убрать все задачи

---

Снегирь. Итак, мама воскликнула — «Чудеса!», и сразу же мама, папа и дети отправились в зоомагазин. «Но здесь больше пятидесяти снегирей, как мы выберем», — чуть не заплакал младший брат, увидев снегирей. «Не волнуйся», — сказал старший, — «их меньше пятидесяти». «Главное,» — сказала мама, — «что здесь есть хотя бы один!» «Да, забавно,» — подытожил папа, — «из трех ваших фраз только одна соответствует действительности». Сможете ли Вы сказать, сколько снегирей было в магазине, зная, что снегиря мне купили?

   Решение

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.

Решение

По смыслу термина "описанный", каждая сторона прямоугольника должна проходить через какую-нибудь вершину треугольника. Так как при этом вершин у треугольника на одну меньше, чем сторон у прямоугольника, то хотя бы одна вершина прямоугольника должна совпадать с одной из вершин треугольника. Мы будем называть такую вершину "главной". Пусть A — главная вершина треугольника, Q — совпадающая с ней вершина прямоугольника, N — вершина прямоугольника, противоположная Q. Так как CNB = 90^o, то, очевидно, точка N лежит на полуокружности, построенной на стороне BC, как на диаметре (полуокружность лежит вне треугольника ABC). Пусть теперь R и S — середины сторон AC и AB, O — точка пересечения средней линии RS с медианой AL к стороне BC; X — произвольная точка построенной полуокружности, Y — середина отрезка AX. В треугольнике ALX

так как OY — средняя линия. Стало быть, точка Y лежит на полуокружности радиуса

построенной на RS, как на диаметре. Заметим теперь, что центр прямоугольника есть точка пересечения его диагоналей и, значит, середина любой диагонали. Пока вершина A треугольника остаётся главной, центр прямоугольника описывает, как мы показали, какую-то часть дуги полуокружности, построенной на RS, как на диаметре. Выясним, какую именно часть полуокружности описывает центр прямоугольника. Если A — главная вершина, то сторона PN прямоугольника образует со стороной AC треугольника тупой угол: NCA90^o. Этот угол становится прямым как раз тогда, когда роль главной вершины переходит к точке С. Точно так же угол NBA не меньше 90^o. Построим перпендикуляры к сторонам AC и AB в точках С и В (соответственно); они высекают на дуге полуокружности как раз ту её часть, которая заметается вершиной N прямоугольника. Если теперь построить на средних линиях треугольника ABC дуги полуокружностей вдвое меньшего радиуса и выделить на них соответствующие части, то образуется криволинейный треугольник, который и является искомым множеством.

Источники и прецеденты использования