Задача 78233

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

В квадрате со стороной 100 расположено N кругов радиуса 1, причём всякий отрезок длины 10, целиком расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один круг. Доказать, что N400.

Примечание Problems.Ru: Рассматриваются открытые круги, то есть круги без ограничивающей их окружности.

Решение

Рассмотрим фигуру Ф, состоящую из множества точек, удалённых от отрезка длины 10 не более чем на 1. Разобьём весь квадрат 100×100 на 50 вертикальных полос шириной 2 каждая и во все эти полосы поместим по 8 непересекающихся фигур, равных Ф. Тогда из условия следует, что в каждую из 400 фигур попадает по крайней мере один центр круга и поэтому кругов не меньше 400, что и требовалось доказать.

Замечания

Рассматриваются открытые круги, то есть круги без ограничивающей их окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	5