Задача 78235

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

6n-значное число делится на 7. Последнюю цифру перенесли в начало. Доказать, что полученное число также делится на 7.

Решение

  Представим исходное число A в виде  A = 10a + b.  После перестановки последней цифры b в начало мы получим, очевидно, число  В = 10^6n–1b + a.
  10B – A = (10⁶ⁿ – 1)b  делится на  10⁶ – 1 = 999·1001 = 999·143·7,  то есть делится на 7. Следовательно, и B делится на 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	2