Задача 78247

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Два отрезка натурального ряда из 1961 числа подписаны один под другим. Доказать, что каждый из них можно так переставить, что если сложить числа, стоящие одно под другим, получится снова отрезок натурального ряда.

Решение

Сумма чисел отрезка натурального ряда a, a + 1, ..., a + 1960 равна 1961a + 1961 ^. 980. Поэтому если данные отрезки начинаются с a и b, то искомый отрезок начинается с c, где c = a + b + 980. Теперь требуемая перестановка легко находится:

a	a + 981	a + 1	a + 982	...	a + 979	a + 1960	a + 980
b + 980	b	b + 981	b + 1	...	b + 1959	b + 979	b + 1960

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	5