ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78251
Темы:    [ Числа Фибоначчи ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана последовательность чисел F1, F2, ...;  F1 = F2 = 1  и   Fn+2 = Fn + Fn+1.  Доказать, что F5k делится на 5 при  k = 1, 2, ... .


Решение 1

  Индукция по k. База: F5 = 5.
  Шаг индукции.  F5k+2F5k+1 (mod F5k),  F5k+3 ≡ 2F5k+2 (mod F5k),  F5k+4 ≡ 3F5k+1 (mod F5k),  F5k+5 ≡ 5F5k+1 (mod F5k).  По предположению индукции F5k делится на 5. Значит, и F5k+5 делится на 5.


Решение 2

  См. задачу 60570 г).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .