Условие
На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не
параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их
общей части была наибольшей?
Решение
Пусть
M — многоугольник,
P — полоса, граница которой пересекает
M по
паре отрезков, длины которых
l1 и
l2. При сдвиге полосы на достаточно
малое расстояние
t площадь пересечения изменится на
t(
l1 -
l2) +
c . (
t)
2, поэтому если площадь пересечения
наибольшая, то
l1 =
l2.
Получили, что если площадь многоугольника
M максимальна, то граница любой
полосы либо не пересекает его, но тогда весь
M лежит на данной полосе, либо
пересекает по двум равным и параллельным отрезкам.
Рассмотрим многоугольник с равными и параллельными противоположными сторонами,
тогда прямые симметрии полос, которые его задают, пересекаются в одной точке.
Доказательство этого факта аналогично доказательству для параллелограмма.
Тогда получили, что если сдвинуть все полосы так, чтобы их линии симметрии
пересекались в одной точке, то площадь будет максимальной.
Источники и прецеденты использования
