ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78255
Темы:    [ Векторы (прочее) ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что Z1 + ... + Zn = 0, где Zk — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120o.

Решение

Во-первых, заметим, что каждому комплексному числу можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. Поэтому можно считать, что дано n векторов, проведённых из точки O в точки Z1,..., Zn, сумма которых равна нулю. Если n = 2, то тогда, поскольку их сумма равна нулю, они равны по модулю и противоположно направлены, а значит, разность их аргументов равна 180o, т. е. больше 120o. Если же n > 2, то тогда точка O принадлежит их выпуклой оболочке, поскольку их сумма равна нулю. Значит, точка O принадлежит и некоторому треугольнику с вершинами Zi. Без ограничения общности можно считать, что это треугольник Z1Z2Z3. Но тогда $ \angle$Z1OZ2 + $ \angle$Z2OZ3 + $ \angle$Z3OZ1 = 360o, а значит, один из этих углов не менее 120o = 360o/3, что и требовалось в задаче, поскольку угол равен разности аргументов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .