Задача 78255

Темы:    [ Векторы (прочее) ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Известно, что Z₁ + ... + Z_n = 0, где Z_k — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120^o.

Решение

Во-первых, заметим, что каждому комплексному числу можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. Поэтому можно считать, что дано n векторов, проведённых из точки O в точки Z₁,..., Z_n, сумма которых равна нулю. Если n = 2, то тогда, поскольку их сумма равна нулю, они равны по модулю и противоположно направлены, а значит, разность их аргументов равна 180^o, т. е. больше 120^o. Если же n > 2, то тогда точка O принадлежит их выпуклой оболочке, поскольку их сумма равна нулю. Значит, точка O принадлежит и некоторому треугольнику с вершинами Z_i. Без ограничения общности можно считать, что это треугольник Z₁Z₂Z₃. Но тогда Z₁OZ₂ + Z₂OZ₃ + Z₃OZ₁ = 360^o, а значит, один из этих углов не менее 120^o = 360^o/3, что и требовалось в задаче, поскольку угол равен разности аргументов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	5