Условие
Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится
несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в
одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с
одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы
один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник,
весь покрашен снаружи.
Решение
Нам дан многоугольник, в котором проведены какие-то диагонали. Сотрём их и
будем проводить снова, но уже по одной, по очереди.
Первая диагональ разделила многоугольник на два; каждый из них покрашен
снаружи всюду, кроме диагонали. Но так как диагональ покрашена с одной
стороны, ясно, что один из двух многоугольников целиком покрашен снаружи.
Проведём вторую диагональ. Если она проходит так, что не пересекает
выбранного нами многоугольника, то ничего не меняется — выбранный
многоугольник остается окрашенным снаружи, если же диагональ пересекает
многоугольник, то она снова разбивает его на две части, одна из которых, как
и раньше, окрашена снаружи.
И каждый раз, проводя новую диагональ, мы либо просто сохраняем уже имеющийся
многоугольник (окрашенный снаружи), либо получаем новый — и так пока не
проведём все диагонали.
Источники и прецеденты использования
