Информация о задаче

Задача 78257

Тема:

[

Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD на стороне AB взята точка P, на стороне BC — точка Q, на стороне CD — точка R, на стороне DA — S; оказалось, что фигура PQRS — прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник PQRS — либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Решение

Рассмотрим треугольники APS и BQP. Так как AP $\perp$ BQ и PS $\perp$ PQ, то $\angle$ APS = $\angle$ BQP и $\angle$ ASP = $\angle$ BPQ. Аналогично, $\angle$ BQP = $\angle$ CRQ = $\angle$ DSR и $\angle$ BPQ = $\angle$ CQR = $\angle$ DRS. Поскольку в прямоугольнике противоположные стороны равны, то справедливы соотношения: PQ = RS и QR = PS, откуда вытекают равенства: $\triangle$ BPQ = $\triangle$ DRS и $\triangle$ APS = $\triangle$ CQR. Следовательно, AP = CR = х, BP = DR = 1 - х; AS = CQ = y, DS = ВQ = 1 - у (мы считаем здесь сторону квадрата равной 1). Выписанные соотношения верны, таким образом, для любого прямоугольника PQRS, вписанного в квадрат ABCD. Пусть теперь Р и R — любые такие точки на сторонах AB и CD соответственно, что AP = CR = х, BP = DR = 1 - х. Если мы выберем точки Q и S на сторонах BC и AD таким образом, чтобы выполнялись соотношения:

CQ = AS = х, BQ = DS = 1 - х,

(90)

или

BQ = DS = х, CQ = AS = 1 - х,

(91)

то в том и другом случае фигура PQRS будет представлять собой прямоугольник (проверьте!). В первом случае его стороны будут параллельны диагоналям квадрата, во втором случае он сам будет квадратом. Заметим теперь, что у любого другого прямоугольника, вписанного в квадрат ABCD, вершины которого Р и R лежат на сторонах AB и CD (соответственно), две другие вершины должны лежать на окружности, построенной на отрезке PR, как на диаметре, — каждая на своей полуокружности. Каждая из этих полуокружностей пересекает соответствующую сторону квадрата не более, чем в двух точках; значит, больше двух прямоугольников, вписанных в квадрат, с вершинами в точках Р и R, не существует. Вместе с тем два таких прямоугольника мы уже построили выше. Тем самым утверждение доказано.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2