ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78284
Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два пересекающихся луча и BD. На этих лучах выбираются точки M и N (соответственно) так, что AM = BN. Найти положение точек M и N, при котором длина отрезка MN минимальна.

Решение

Проведём через точку M прямую, параллельную BN, и возьмём на ней такую точку Р, что BP || MN. Так как BPMN — параллелограмм, и MA, по условию, равно BN, то мы получаем: AM = MP, т. е. треугольник AMP — равнобедренный. Обозначим через $ \alpha$ угол между данными лучами (и, значит, между прямыми AM и MP). В таком случае

$\displaystyle \angle$MAP = $\displaystyle {\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}}$.

Мы видим, что $ \angle$MAP не зависит от положения точки M на луче AO. Это значит, что точка P всегда лежит на некоторой вполне определённой прямой (составляющей угол $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}}$ с данным лучом AO). Заметим теперь, что PB = MN, а мы ищем такое положение точки M, что отрезок MN минимален. Это, очевидно, произойдёт в том случае, когда PB $ \perp$ AP, что и определяет выбор точки Р, а следовательно, и точки M.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 25
Год 1962
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .