Условие
Из чисел
x1,
x2,
x3,
x4,
x5 можно образовать десять попарных
сумм; обозначим их через
a1,
a2, ...,
a10. Доказать, что зная
числа
a1,
a2, ...,
a10 (но не зная, разумеется, суммой каких
именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа
x1,
x2,
x3,
x4,
x5.
Решение
Упорядочим данные и искомые числа по возрастанию:
x1
x2x3x4x5,
a1a2...
a10. Так как каждое число входит ровно
в четыре суммы,
a1 + ... +
a10 = 4(
x1 + ... +
x5), т. е по числам
ai
можно восстановить сумму
x1 + ... +
x5. Далее, ясно, что
a1 =
x1 +
x2,
a2 =
x1 +
x3,
a9 =
x3 +
x5,
a10 =
x4 +
x5. Следовательно, можно
восстановить
число
x3 = (
x1 + ... +
x5) - (
x1 +
x2) - (
x4 +
x5) = (
x1 + ... +
x5) -
a1 -
a10,
а по нему вычислить
x1 =
a2 -
x3,
x2 =
a1 -
x1,
x5 =
a9 -
x3
и
x4 =
a10 -
x5.
Источники и прецеденты использования
