Информация о задаче

Задача 78302

Темы:	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Площадь и объем (задачи на экстремум)	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]

Сложность: 4+
Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?

Решение

Проекция прямоугольного параллелепипеда на плоскость представляет собой шестиугольник (быть может, вырождающийся в четырёхугольник). Так как проекция каждой грани параллелепипеда есть параллелограмм, то площадь треугольника ABC (рис. 62) составляет ровно половину площади всей проекции (ибо диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника). Но треугольник ABC представляет собой проекцию соответствующего треугольника A'B'C', `` вписанного'' в параллелепипед. Расположение треугольника A'B'C' очевидно, определяет расположение в пространстве всего параллелепипеда. Как известно,

S_ABC = S_A'B'C'^.cos $\displaystyle \alpha$ ,

где A'B'C' — треугольник, проекцией которого является треугольник ABC, и $\alpha$ — угол между плоскостями треугольников ABC и A'B'C'. Ясно теперь, что площадь треугольника ABC будет наибольшей (а стало быть, будет максимальной и площадь проекции данного прямоугольного параллелепипеда), когда cos $\alpha$ = 1, т. е. $\alpha$ = 0, или, иначе говоря, когда точки A', B' и C' лежат в горизонтальной плоскости.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4