Информация о задаче

Задача 78485

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Положительные числа x, y, z обладают тем свойством, что

arctg x + arctg y + arctg z < $\displaystyle \pi$ .

Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.

Решение

Пусть $\varphi_{1}^{}$ = arctg x, $\varphi_{2}^{}$ = arctg y, $\varphi_{3}^{}$ = arctg z, тогда $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ + $\varphi_{3}^{}$ < $\pi$ и, кроме того, 0 < $\varphi_{1}^{}$ , $\varphi_{2}^{}$ , $\varphi_{3}^{}$ < ${\frac{\pi}{2}}$ , поскольку 0 < x, y, z, а значит, и cos $\varphi_{1}^{}$ , cos $\varphi_{2}^{}$ , cos $\varphi_{3}^{}$ > 0. Так же получаем, что

x + y + z - xyz = tg $\displaystyle \varphi_{1}^{}$ + tg $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ + tg $\displaystyle \varphi_{3}^{}$ - tg $\displaystyle \varphi_{1}^{}$ tg $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ tg $\displaystyle \varphi_{3}^{}$ .

Поскольку cos $\varphi_{1}^{}$ , cos $\varphi_{2}^{}$ , cos $\varphi_{3}^{}$ > 0, обе части равенства можно домножить на произведение косинусов. Получаем, что надо доказать, что

sin $\displaystyle \varphi_{1}^{}$ cos $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ cos $\displaystyle \varphi_{3}^{}$ + cos $\displaystyle \varphi_{1}^{}$ sin $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ cos $\displaystyle \varphi_{3}^{}$ + cos $\displaystyle \varphi_{1}^{}$ cos $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ sin $\displaystyle \varphi_{3}^{}$ - sin $\displaystyle \varphi_{1}^{}$ sin $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ sin $\displaystyle \varphi_{3}^{}$ > 0.(*)

Левая часть равенства (*) равна sin( $\displaystyle \varphi_{1}^{}$ + $\displaystyle \varphi_{2}^{}$ + $\displaystyle \varphi_{3}^{}$ ). В этом можно убедиться, дважды применив формулу синуса суммы.

Поскольку 0 < $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ + $\varphi_{3}^{}$ < $\pi$ , получаем, что sin( $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ + $\varphi_{3}^{}$ ) > 0, тем самым доказано неравенство (*).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	26
Год	1963
вариант
	1
Класс	11
Тур	1
задача
Номер	1