Задача 78487
|
|
 |
Условие
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в
записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.
Решение
Пусть S(n) – сумма цифр числа n, тогда n ≡ S(n) (mod 9). Поскольку 1 + 2 + ... + 7 ≡ 7 (mod 9), каждое данное число сравнимо с 7 по модулю 9. Всего различных семизначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, 7!. Следовательно, их сумма сравнима с 7·7! ≡ 0 (mod 9).
