Задача 78488

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Решение

Пусть длина ребра исходного тетраэдра равна 1. Назовём маленькими правильные тетраэдры со стороной 1/3, а средними - правильные тетраэдры со стороной 2/3.

Рассмотрим 4 средних тетраэдра, имеющих с исходным общий трёхгранный угол. Каждый такой тетраэдр делится остальными проведёнными плоскостями на 4 "угловых" маленьких тетраэдра и октаэдр с вершинами в серединах рёбер и стороной 1/3, причём октаэдры, соответствующие разным средним тетраэдрам, пересекаются только по одному ребру.

В итоге исходный тетраэдр оказывается разбит на 4 октаэдра со стороной 1/3 стороны тетраэдра, 4 маленьких тетраэдра, имеющих с исходным общую вершину, 6 маленьких тетраэдров, одно из ребёр которых лежит на ребре исходного (каждый из них - "угловой" для двух средних тетраэдров), и ещё 1 маленький тетраэдр, вершины которого являются центрами граней исходного (не входящий ни в один из средних тетраэдров).

Ответ

На 15 частей: 11 правильных тетраэдров со стороной 1/3 исходного и 4 октаэдра с такой же стороной.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	26
Год	1963
вариант
	1
Класс	11
Тур	1
задача
Номер	5