|
|
 |
Условие
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
Решение
Будем измерять время в минутах. Первый пешеход проходит, аллею за 6 минут, второй – за 3, третий – за 2. Покажем сначала, что найдётся отрезок времени длины 3, когда первый и второй пешеходы двигались в одном направлении.
Пусть t1 – произвольный поворот первого пешехода. Рассмотрим ближайший момент t2 > t1, когда произошёл поворот второго пешехода. Ясно, что в течении отрезка времени [t2, t2 + 3], когда второй пешеход проходил целиком всю аллею, первый также не успел повернуть. Если при этом два пешехода двигались в одном направлении, то отрезок [t2, t2 + 3] – искомый. Иначе искомый отрезок – [t2 + 6, t2 + 9]. Будем считать, что реализуется первая из этих ситуаций (иначе заменим t2 на t2 + 6).
Докажем теперь утверждение задачи. Пусть t3 > t2 – ближайший момент, когда повернул третий пешеход. Рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что один из отрезков [t3, t3 + 1], [t3 + 4, t3 + 5] или [t3 + 9, t3 + 10] – искомый.
