ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78497
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Покрытия ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.


Решение

  Будем измерять время в минутах. Первый пешеход проходит, аллею за 6 минут, второй – за 3, третий – за 2. Покажем сначала, что найдётся отрезок времени длины 3, когда первый и второй пешеходы двигались в одном направлении.
  Пусть t1 – произвольный поворот первого пешехода. Рассмотрим ближайший момент  t2 > t1,  когда произошёл поворот второго пешехода. Ясно, что в течении отрезка времени  [t2, t2 + 3],  когда второй пешеход проходил целиком всю аллею, первый также не успел повернуть. Если при этом два пешехода двигались в одном направлении, то отрезок  [t2, t2 + 3]  – искомый. Иначе искомый отрезок –  [t2 + 6, t2 + 9].  Будем считать, что реализуется первая из этих ситуаций (иначе заменим t2 на  t2 + 6).
  Докажем теперь утверждение задачи. Пусть  t3 > t2  – ближайший момент, когда повернул третий пешеход. Рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что один из отрезков  [t3, t3 + 1],  [t3 + 4, t3 + 5]  или  [t3 + 9, t3 + 10] – искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 26
Год 1963
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 26
Год 1963
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .