Задача 78502
|
|
 |
Условие
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.
Решение
zn = хn + уn делится на х + у. Если х + у – простое число, то и z делится на х + у, то есть z ≥ х + у. Но тогда zn ≥ (х + у)n > хn + уn.
.Замечания
В исходной задаче Московской олимпиады речь шла не о натуральных, а о целых числах и отсутствовало условие n > 1. В такой формулировке утвеждение неверно: имеется бесконечно много решений вида (p, 0, p), а при n = 1 ещё и решения вида (t, p – t, p), где p – простое, t – целое.
