Пусть f (x, y) = x² + y² + a₁x + b₁y + c₁ и g(x, y) = x² + y² + a₂x + b₂y + c₂. Докажите, что для любого вещественного 1 уравнение f - g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.

   Решение

Тема:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны AB и BC, не меньше этих сторон соответственно. Найти углы треугольника.

Решение

Ответ: B = 90^o, A = C = 45^o. Пусть CH и AK — высоты треугольника ABC. По условию CHAB и AKBC. А так как перпендикуляр короче наклонной, то ABAK и BCCH. Объединяя все эти неравенства, получаем CHABAKBCCH. Следовательно, все эти неравенства обращаются в равенства. В частности, AB = BC, т.е. треугольник равнобедренный. Кроме того, равенство AB = AK означает, что высота AK совпадает со стороной AB, т.е. B = 90^o.

Источники и прецеденты использования