Задача 78512

Тема:    [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM.

Решение

Пусть O и O₁ — середины отрезков AB и AM. Ясно, что AC BM, поэтому точка C лежит на окружности с диаметром AM. Следовательно, O₁A = O₁C. Кроме того, OA = OC. Поэтому O₁AO = O₁CO. В частности, O₁CO = 90^o. Это означает, что O₁C — касательная к окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	2