Задача 78528
|
|
 |
Условие
На отрезке AB выбрана произвольно точка C и на отрезках AB, AC и BC, как на диаметрах, построены окружности Ω1, Ω2 и Ω3. Через точку C проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω1 в точках P и Q, а окружности Ω2 и Ω3 в точках R и S соответственно. Доказать, что PR = QS.
Решение
Пусть K, L и M – центры окружностей Ω1, Ω2 и Ω3. Достаточно доказать, что KR = KS. Докажем, что треугольники LRK и MKS равны. Радиус окружности Ω1 равен сумме радиусов окружностей Ω2 и Ω3, поэтому LR = MK и LK = MS. Ясно также, что ∠RLK = ∠KMS = 180° – 2α, где α – угол между прямыми AB и PQ.
