|
|
 |
Условие
На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все
звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.
Решение
Предположим, что существует замкнутая ломаная A1...An с нечётным числом звеньев равной длины c, все вершины которой лежат в узлах целочисленной решётки. Пусть ai и bi – координаты проекций вектора на горизонтальную и вертикальную оси. Тогда
поэтому c² при делении на 4 даёт остаток 0, 1
или 2.
Если c² делится на 4, то ai и bi чётны. Поэтому при гомотетии с центром A1 и коэффициентом ½ наша ломаная перейдёт в ломаную с меньшей длиной звена, вершины которой по-прежнему лежат в узлах решётки. После
нескольких таких операций придём к ломаной, у которой c² не
делится на 4. Разберём оставшиеся варианты, предварительно заметив, что
a1 + ... + am = b1 + ... + bm = 0.
1) c² ≡ 2 (mod 4). Тогда числа ai и bi нечётны, поэтому число
a1 + ... + am нечётно и не может
равняться нулю. Противоречие.
2) c² ≡ 1 (mod 4). Тогда одно из чисел ai и bi нечётно, а другое чётно, поэтому число a1 + ... + am + b1 + ... + bm нечётно и не может равняться нулю. Противоречие.
