Задача 78555

Тема:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Дан треугольник ABC, в котором сторона AB больше BC. Проведены биссектрисы AK и CM (K лежит на BC, M лежит на AB). Доказать, что отрезок AM больше MK, а отрезок MK больше KC.

Решение

По свойству биссектрисы  BM : MA = BC : CA и  BK : KC = BA : AC. Поэтому  BM : MA < BK : KC, т. е.

= 1 + < 1 + = .

Следовательно, точка M более удалена от прямой AC, чем точка K, т. е.  AKM > KAC = KAM и  KMC < MCA = MCK. Из того, что AKM > KAM, следует, что AM > MK (против большей стороны лежит больший угол). Аналогично доказывается, что MK > KC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	3