Задача 78557

Темы:    [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной длины коридора.

Решение

Выберем среди всех кусков ковровой дорожки, покрывающих левый конец коридора, тот, у которого правый конец самый правый, и обозначим этот кусок I₁. После того как выбран кусок I_k, выбираем среди всех кусков, покрывающих его правый конец, тот, у которого правый конец самый правый. Таким образом выберем несколько кусков, полностью покрывающих коридор. Остается доказать, что сумма их длин не превосходит 2. Кусок I_{k + 2} не имеет общих точек с I_k, так как иначе вместо I_{k + 1} мы должны были бы выбрать I_{k + 2}. Поэтому каждая точка коридора длиной 1 покрыта не более чем двумя кусками I_k, т. е. сумма длин этих кусков не превосходит  2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5