ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78591
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Китайская теорема об остатках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что те натуральные K, для которых  KK + 1  делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.


Решение

В решении задачи 78581 показано, что последние цифры чисел nn (n натуральное) образуют периодическую последовательность с периодом 1, 4, 7, 6, 5, 6, 3, 6, 9, 0, 1, 6, 3, 6, 5, 6, 7, 4, 9, 0. Поэтому  KK + 1  оканчивается нулём в точности при  K = 10m + 9,  m – неотрицательное целое. Остается выяснить, при каких m это число делится на 3. Пусть  m = 3n + r,  0 ≤ r < 3.  Тогда  KK + 1 ≡ r + 1  (mod 3),  значит, должно быть  r = 2.  Отсюда получаем ответ.


Ответ

Прогрессия  k = 30n – 1,  где n – натуральное число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 29
Год 1966
вариант
1
Класс 9,10,11
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .