Задача 78668

Темы:    [ Скрещивающиеся прямые и ГМТ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые, l₁, l₂, l₃, l₄, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость P так, чтобы точки A₁, A₂, A₃, A₄ пересечения этих прямых с P образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?

Решение

Будем искать плоскости , для которых четырёхугольник  A₁A₂A₃A₄ — параллелограмм. Для этого необходимо и достаточно, чтобы середина отрезка A₁A₃ совпадала с серединой отрезка A₂A₄. По определению середина отрезка A₁A₃ лежит в серединной плоскости прямых l₁ и l₃, а середина отрезка A₂A₄ — в серединной плоскости прямых l₂ и l₄. По условию никакие три прямые не параллельны одной плоскости, а значит^ эти серединные плоскости не параллельны и не совпадают. Обозначив через l прямую их пересечения, получим, что общая середина отрезков A₁A₃ и A₂A₄ есть точка пересечения плоскости  с прямой l. Докажем, что для каждой точки L l найдётся ровно одна плоскость , проходящая через точку L, для которой четырёхугольник  A₁A₂A₃A₄ — параллелограмм. Это следует из того, что каждая точка серединной плоскости двух скрещивающихся прямых является серединой ровно одного отрезка с концами на этих прямых (таким образом, выбор отрезков A₁A₃ и A₂A₄ возможен и однозначен), а через две пересекающиеся прямые можно провести ровно одну плоскость. Таким образом, для каждого выбора того, какие вершины в параллелограмме, образованном A_i, i = 1,..., 4, противоположны, все искомые плоскости параметризуются точками прямой пересечения серединных плоскостей пар прямых, соответствующих противоположным вершинам.

Ответ

3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	5