Задача 78670

Темы:    [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Процессы и операции ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать, что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать по одну сторону от нее.

Решение

На каждом шаге получаются точки, лежащие на окружности, проходящей через исходные три точки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2