|
|
 |
Условие
Двухсотзначное число
89252525...2525 умножено на число 444x18y27 (x и
y — неизвестные цифры). Оказалось, что 53-я цифра полученного числа (считая справа) есть 1, а 54-я — 0. Найти x и y.
Решение
Ответ:
x=4, y=6.
Пусть A=89252525...2525 , B=444x18y27 .
Представим число B в виде суммы B=444x00y00+18027 . Произведение
A· 18027 имеет вид 3..272727272727268175 , в частности,
его 53 -я цифра равна 7 , а 54 -я равна 2 .
Пусть число C· (B-18027)/4
записывается цифрами 111abcdef .
Тогда AB=A· 18027+4A· (B-18027)/4=
3..2727272727268175+3..1010101010100· C .
Будем производить умножение и сложение 'в столбик'. Тогда
53 -я цифра в числе AB будет равна 7+1+1+b+d+f+x ,
где x – число десятков, которые мы переносим из 52 -го разряда.
Цифра с номером 54 равна 2+1+a+c+e+y , где y – число десятков, которые
мы переносим из 53 -го разряда.
Ясно, что x 4 . Заметим, что
a,d
0;1;2 , b,e
0;2;5;7 ,
c,f
0;5 , причем b и c не могут быть равны 5 одновременно.
Из этого получаем оценку
7+1+1+b+d+f+x
7+1+1+7+2+5+4=27 , откуда y
2 .
Но по условию 53 -я цифра суммы равна 1 ,
поэтому y
1 .
Далее, 2+1+a+c+e+y
2+1+2+5+7+2=19 . Но последняя цифра этого числа равна нулю,
поэтому 2+1+a+c+e+y=10 . В частности, из 54 -го разряда в 55 -й мы переносим ровно
1 десятков. Но из вида наших слагаемых следует, что из 54 -го разряда в 55 -й
мы переносим столько же десятков, сколько из 52 -го в 53 -й. Следовательно,
x=1 . Получаем, что должна выполняться совокупность двух систем уравнений:
либо 2+1+a+c+e+2=10,7+1+1+b+d+f+1=21 (1), либо 2+1+a+c+e+1=10,7+1+1+b+d+f+1=11 (2).
Поскольку каждая из цифр a,b,c,d,e,f может принимать небольшое число значений,
несложным перебором находим единственное решение abcdef=100150 (учитываем,
что цифры bc,ef
05,55 ).
Ответ
x=4, y=6.
