Информация о задаче

Задача 78677

Тема:

[

Десятичная система счисления

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На бумажной ленте напечатаны автобусные билеты с номерами от 000 000 до 999 999. Затем синей краской пометили те билеты, у которых сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Какая будет наибольшая разность между номерами двух соседних синих билетов?

Решение

Покажем сначала, что синие билеты с номерами 908919 и 909909 — соседние. Допустим, что нашёлся синий билет с номером 908919 < X = $\overline{abcdef}$ < 909909. Тогда a = 9, b = 0. Рассмотрим сначала случай c = 8. Тогда d = 9 и e $\ge$ 1, а значит, a + c + e $\ge$ 18. Так как билет синий, то f = b + d + f - b - d = a + c + e - 0 - 9 $\ge$ 9. Поскольку f — цифра, f = 9, т. е. X = 908919, что противоречит предположению. Теперь рассмотрим случай c = 9. В этом случае a + c + e $\ge$ a + c = 18. Дальнейшее полностью повторяет рассуждение для предыдущего случая. Теперь докажем, что разность между номерами X < Y двух соседних синих билетов не может больше, чем 990. Предположим, что Y - X > 990. Заметим сначала, что числа X и Y делятся на 11, а значит, их разность также делится на 11. Следовательно, Y - X $\ge$ 1001. С другой стороны, все билеты с номерами вида $\overline{abcabc}$ — синие, а разность между соседними числами такого вида равна 1001. Следовательно, Y - X = 1001, X = $\overline{abcabc}$ . Рассмотрим случай a $\le$ 8. Если c $\ge$ 1, то между билетами X и Y найдётся синий билет $\overline{abc(a+1)b(c-1)}$ . Если b $\ge$ 1, то билет X < $\overline{abc(a+1)(b-1)c}$ < Y синий. Остался случай b = c = 0. Но в этом случае билет X < $\overline{a00a11}$ < Y синий. Итак, при a $\le$ 8 билеты X = $\overline{abcabc}$ и X + 1001 не могут быть соседними синими. Рассмотрим теперь случай a = 9. Если b $\le$ 8, то между X и Y найдётся синий билет с номером $\overline{9bc8(b+1)c}$ . Если же b = 9, то между X = $\overline{99c99c}$ и Y = $\overline{99(c+1)99(c+1)}$ найдётся синий билет с номером $\overline{99(c+1)98c}$ .

Ответ

990.00

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	4