|
|
 |
Условие
На окружности радиуса 1 отмечена точка O и из неё циркулем делается
засечка вправо радиусом l. Из полученной точки O1 в ту же сторону тем же
радиусом делается вторая засечка, и так делается 1968 раз. После этого
окружность разрезается во всех 1968 засечках, и получается 1968 дуг. Сколько различных длин дуг может при этом получиться?
Решение
Докажем индукцией по n , что число различных дуг после n засечек
не превосходит 3 .
Для n=2 это очевидно. Обозначим через
Ak засечку с номером k .
Пусть сделано n засечек и точка An попала
на ДУГУ AkAl . Тогда точка An-1
попадает на дугу Ak-1Al-1 .
Поэтому при k,l 1 новых длин
не появится, и требуемое утверждение доказано. Предположим теперь, что,
например, l=1 . Докажем, что тогда длина
любой дуги ApAq между соседними засечками равна длине
одной из дуг AkA1 ,
AnA1 , A1As ,
где As –
ближайшая к A1 засечка, отличная An .
Действительно, при p,q
1
длина дуги ApAq равна
длине дуги Ap-1Aq-1 ,
а между засечками Ap-1 и Aq-1
нет других засечек, кроме возможно, An .
Таким образом за конечное число шагов
мы приходим к одной из рассматриваемых трех дуг.
Ответ
не более трех.
