Задача 78707
|
|
 |
Условие
Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные
делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что a + b + ... + k = s + t + ... + z и 1/a + 1/b + ... + 1/k = 1/s + 1/t + ... + 1/z.
Доказать, что m = n.
Решение
Если d – делитель числа n, то n/d – тоже делитель числа n. Следовательно, наборы чисел (a, b, ..., k) и (n/a, n/b, ..., n/k) совпадают, откуда
n/a + n/b + ... + n/k = a + b + ... + k.
Аналогично m/s + m/t + ... + m/z = s + t + ... + z.
Деля одно из полученных равенств на другое, получаем n = m, что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 32 |
| Год | 1969 |
| вариант | |
| Класс | 7 |
| Тур | 2 |
| задача | |
| Номер | 1 |
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Мультипликативные функции |
| Тема | Неопределено |
| задача | |
| Номер | 03.092 |
