Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на  2n – 1  треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.

   Решение

В равнобедренном треугольнике MPK с основанием PM  ∠P = arctg ⁵/₁₂.  Окружность, вписанная в угол K, касается стороны KP в точке A и отсекает от основания отрезок HE. Известно, что центр окружности удалён от вершины K на расстояние ¹³/₂₄ и  AP = ⁶/₅.  Найдите площадь треугольника HAE.

   Решение

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

   Решение

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Решение

  Докажем индукцией по n, что при  n ≥ 3  количество последовательностей, оканчивающихся на n, меньше n. (Для  n = 1 и 2  количество таких последовательностей равно n.) Рассмотрим последовательность, оканчивающуюся на n, и отбросим её последний член. Для всех последовательностей, состоящих более, чем из одного члена n, получаем последовательности, оканчивающиеся на 1, 2, ..., [].
  Поэтому по предположению индукции количество всех последовательностей, оканчивающихся на n, не превосходит
1 + 1 + 2 + ... +  []  =  1 + .   При  n ≥ 3  это число меньше n.

Источники и прецеденты использования