Условие
На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности
можно найти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех отмеченных
точек была больше 100.
Решение
Пусть
A1, ...,
A100 — данные точки,
X1 и
X2 — две
диаметрально противоположные точки окружности, отличные от данных. Тогда
AkX1 +
AkX2 >
X1X2 = 2. Следовательно,
A1X1 + ... +
A100X1 > 100
или
A1X2 + ... +
A100X2 >
100, поэтому одна из точек
X1 и
X2 обладает требуемым свойством.
Источники и прецеденты использования
