Задача 78750

Тема:    [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Внутри круга радиуса 1 м расположены n точек. Доказать, что в круге или на его границе существует точка, сумма расстояний от которой до всех точек не меньше n метров.

Решение

Пусть A₁, ..., A_n — данные точки, X₁ и X₂ — две диаметрально противоположные точки границы круга. Тогда A_kX₁ + A_kX₂ ≥ X₁X₂ = 2. Следовательно, A₁X₁ + ... + A_nX₁ ≥ n или A₁X₂ + ... + A_nX₂ ≥ n, поэтому одна из точек X₁ и X₂ обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	33
Год	1970
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	33
Год	1970
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2