Задача 78768

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Известно, что в кадр фотоаппарата, расположенного в точке O, не могут попасть предметы A и B такие, что угол AOB больше 179^o. На плоскости поставлено 1000 таких фотоаппаратов. Одновременно каждым фотоаппаратом делают по одному снимку. Доказать, что найдётся снимок, на котором сфотографировано не больше 998 фотоаппаратов.

Решение

Предположим, что на каждом снимке сфотографированы все остальные фотоаппараты (за исключением того, которым сделан снимок). Тогда точки, в которых расположены фотоаппараты, являются вершинами выпуклого 1000-угольника, поскольку иначе найдётся фотоаппарат, из которого видны не все остальные. Сумма всех углов 1000-угольника равна 180^{o .} 998 = 179640^o > 179^{o .} 1000. Поэтому один из углов больше 179^o. Фотоаппарат, расположенный в этом углу, не может сфотографировать сразу все остальные фотоаппараты.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	33
Год	1970
вариант
Класс	7
Тур	дополнительный
задача
Номер	6