Задача 78781

Тема:    [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Про последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ... известно, что для любого n > 1 выполнено равенство 3x_n - x_{n - 1} = n. Кроме того, известно, что | x₁| < 1971. Вычислить x₁₉₇₁ с точностью до 0, 000001.

Решение

Ответ: 985,250000. Рассмотрим вспомогательную последовательность y_n = - . Легко проверить, что 3y_n - y_{n - 1} = n. Поэтому x_n - y_n = |x_n-1 − y_n-1|. Следовательно,

|x_n+1 − y_n+1| < |x₁ − y₁| < .

Таким образом, x₁₉₇₁ достаточно мало отличается от y₁₉₇₁ = 985, 25.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	3