Информация о задаче

Задача 78782

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?

Решение

Ответ: k = 1 или 0. Лемма.Пусть точка O лежит в треугольнике $\triangle$ ABC, причём точки A, B, C, O удовлетворяют условию задачи. Тогда точка O является центром описанной окружности треугольника $\triangle$ ABC. Доказательство леммы. Рассмотрим треугольник $\triangle$ ABC, по условию задачи он является равнобедренным. Предположим, что AB = BC, тогда заметим, что BO < AB и BO < BC. По условию задачи треугольники $\triangle$ ABO и $\triangle$ BCO равнобедренные, а значит, OB = OA и OB = OC. Получили, что OA = OB = OC, а значит, O является центром окружности, описанной вокруг треугольника $\triangle$ ABC.

Докажем, что k $\le$ 1, индукцией по n. Если n = 3, то все k точек лежат внутри треугольника и по лемме все совпадают с центром описанной окружности этого треугольника. Получаем, что k $\le$ 1. Если n $\ge$ 4, то в данном n-угольнике есть прямой или тупой угол $\angle$ A_{i - 1}A_iA_{i + 1}. По доказанной лемме, внутри треугольника A_{i - 1}A_iA_{i + 1} не может лежать ни одной из k точек. Следовательно, отрезав от нашего многоугольника треугольник A_{i - 1}A_iA_{i + 1}, получим (n - 1)-угольник, внутри которого лежит k точек. По предположению индукции, k $\le$ 1. Итак, k $\le$ 1. Пример для k = 0 очевиден. Для k = 1 достаточно взять равнобедренный треугольник с центром его описанной окружности.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4