Задача 78802

Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

В пространстве даны точка O и n попарно непараллельных прямых. Точка O ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий все точки, которые могут быть получены таким образом?

Решение

Ответ: существует.
Лемма.Пусть l₁ и l₂ — две прямые, φ — угол между ними, Q — точка пространства. Тогда существует константа D такая, что для любой точки P l₁ и её проекции P' на прямую l₂ выполнено неравенство |QP'| ≤ |QP| cosφ + D.
Доказательство леммы. Пусть P₀ — фиксированная точка на прямой l₁. Тогда

| QP'| ≤ |QP₀'| + | P₀'P'| = |QP₀'| + |P₀P| cosφ ≤ |QP₀'| + |QP₀| cosφ + |QP| cosφ = D + |QP| cosφ.

Следствие. Существует такое число R = R(l₁, l₂, Q), зависящее от l₁, l₂ и Q, что если |QP| < R, то |QP'| < R.
Действительно, в качестве R достаточно выбрать . Обозначим через O_i проекцию точки O на прямую l_i. Пусть R₁ = | OO_i|, R₂ = R(l_i, l_j, O), R = max(R₁, R₂). Тогда, очевидно, шар радиуса R с центром в точке O — искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4