|
|
 |
Условие
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые
монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли
за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые
монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не
надо.)
Решение
Ответ: можно. Приведём пример взвешиваний, позволяющих ответить на вопрос задачи. Первое взвешивание. Разделим все монеты на кучки A и B по 500 монет в каждой и взвесим их на чашечных весах. Тогда возможны два случая. Если A > B (этот случай полностью эквивалентен случаю A < B, поэтому рассмотрим только один из них), то фальшивых монет либо 1, либо 2. В таком случае разделим каждую кучку на две равные части по 250 монет в каждой (A = A1 + A2, B = B1 + B2). Во втором взвешивании на одну чашку весов положим A1 и B1, а на вторую A2 и B2. Опять же возможно два случая, поскольку случай A1 + B1 > A2 + B2 симметричен случаю A1 + B1 < A2 + B2. Если A1 + B1 > A2 + B2, то если фальшивая монета или фальшивые монеты тяжелее, то она или они из A1, если легче, то из B2, а в A2 и B1 — настоящие монеты. Теперь последним взвешиванием, сравнив B1 и B2, выясним, есть ли в B2 фальшивые монеты. Если есть, то они легче настоящих, если нет, то фальшивые в A1, причём они тяжелее настоящих. Если A1 + B1 = A2 + B2, тогда получаем, что фальшивых монет две, причём либо по одной в A1 и A2 и они тяжелее настоящих, либо по одной в B1 и B2 и они легче настоящих. Оставшимся взвешиванием, разделив A1 с одной фальшивой монетой либо без нее на две части по 125 монет и сравнив, получим, если равенство, то монеты в A1 настоящие, а фальшивые в B и они легче настоящих, иначе фальшивые в A и они тяжелее настоящих. Если A = B, тогда фальшивых монет либо вообще нет, либо 2, причём если они есть, то по одной в A и B. Разделив A и B как и в предыдущем случае, сравним A1 с A2. В случае равенства получаем, что фальшивых монет нет. Если же A1 < A2, тогда разделим A1 на две равные части по 125 монет в каждой и сравним их. Если они окажутся равными, то монеты в них настоящие, а значит, фальшивая в A2 и тяжелее настоящих. Если же они не равны, то фальшивая в A1 и легче настоящих.
