Условие
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны
30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
Решение
Так как
EAD = EBD = 30o, точки A, E, D и B
лежат на одной окружности S, причём если O — её центр,
то
EOD = 60o. Точка C симметрична A относительно
точки E, поэтому она лежит на окружности S1, симметричной
окружности S относительно точки E. Аналогично точка C лежит на
окружности S2, симметричной окружности S относительно точки D.
Так как треугольник EOD правильный, центры окружностей S, S1
и S2 образуют правильный треугольник со стороной 2R, где R — радиус
этих окружностей. Поэтому окружности S1 и S2 имеют единственную общую
точку C, причём треугольник CED правильный. Следовательно, треугольник
ABC тоже правильный.
Источники и прецеденты использования
