ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78821
Темы:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ ГМТ с ненулевой площадью ]
[ Невыпуклые многоугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого m-угольника, где mn.

Решение

Итак, имеется несамопересекающийся невыпуклый n-угольник P. Рассмотрим множество T его внутренних точек, из которых видны все вершины P. Докажем, что T — выпуклый многоугольник, число сторон которого не больше n.

Каждой стороне AB многоугольника P поставим в соответствие полуплоскость, граница которой есть прямая AB (из двух таких полуплоскостей мы выбираем ту, которая содержит достаточно близкие к AB внутренние точки многоугольника P). Число таких полуплоскостей равно числу сторон P, что равно n. Тем самым, в пересечении всех таких полуплоскостей получается выпуклый многоугольник T с количеством сторон не большим n. Докажем, что многоугольник T и является искомым. Во-первых, заметим, что если точка не содержится в какой-нибудь из рассмотренных полуплоскостей, то из неё не видно одной из вершин соответствующей стороны. Во-вторых, докажем, что из любой точки многоугольника T видны все вершины многоугольника P. Предположим противное. Пусть точка B принадлежит T, но из B не видно вершину A. Это значит, что отрезок AB пересекает стороны многоугольника P. Если часть отрезка AB, прилегающая к вершине A, лежит вне многоугольника, то точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей стороне многоуголника с вершиной A. Иначе рассмотрим сторону многоугольника ближайшую к точке A и пересекающую AB, тогда точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей этой стороне. Получили противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М161
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 35
Год 1972
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .