ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79269
Темы:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.

Решение

Предположим, что в круг радиуса 1 помещены два треугольника, площадь которых больше 1. Достаточно доказать, что оба треугольника содержат центр O круга. Докажем, что если треугольник ABC, помещённый в круг радиуса 1, не содержит центра круга, то его площадь меньше 1. В самом деле, для любой точки, лежащей вне треугольника, найдётся прямая, проходящая через две вершины и отделяющая эту точку от третьей вершины. Пусть для определённости прямая AB разделяет точки C и O. Тогда hc < 1 и AB < 2, поэтому S = hc . AB/2 < 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .