Условие
Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника,
площадь каждого из которых больше 1.
Решение
Предположим, что в круг радиуса 1 помещены два треугольника, площадь которых
больше 1.
Достаточно доказать, что оба треугольника содержат
центр
O круга. Докажем, что если треугольник
ABC, помещённый в круг
радиуса 1, не содержит центра круга, то его площадь меньше 1. В самом
деле, для любой точки, лежащей вне треугольника, найдётся прямая,
проходящая через две вершины и отделяющая эту точку от третьей вершины.
Пусть для определённости прямая
AB разделяет точки
C и
O.
Тогда
hc < 1 и
AB < 2, поэтому
S =
hc . AB/2 < 1.
Источники и прецеденты использования
