Информация о задаче

Задача 79271

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Из отрезков, имеющих длины a, b и c, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами ${\frac{1}{a+c}}$ , ${\frac{1}{b+c}}$ , ${\frac{1}{a+b}}$ также можно составить треугольник.

Решение

По условию числа а, b, с удовлетворяют неравенствам a + b > с, b + c > a, c + a > b. Очевидно, ${\frac{1}{a+c}}$ > ${\frac{1}{(a+b)+(a+b)}}$ , ${\frac{1}{b+c}}$ > ${\frac{1}{(a+b)+(a+b)}}$ , отсюда следует, что ${\frac{1}{a+c}}$ + ${\frac{1}{b+c}}$ > ${\frac{1}{a+b}}$ . Аналогично доказываются остальные два неравенства треугольника.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	1


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4