Задача 79291

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Доказать, что в десятичной записи чисел  2ⁿ + 1974ⁿ и 1974ⁿ  содержится одинаковое количество цифр.

Решение

Предположим, что  1974ⁿ < 10^k ≤ 2ⁿ + 1974ⁿ.  Тогда  k ≥ 3n,  поскольку  1974ⁿ > 10³ⁿ.  После деления на 2ⁿ приходим к неравенству
987ⁿ < 2^k−n·5^k ≤ 987ⁿ + 1.  Число  2^k–n·5^k  целое, поэтому  2^k–n·5^k = 987ⁿ + 1.  Если  n ≥ 2,  то  k − n ≥ 2n > 3,  поэтому  2^k–n·5^k  делится на 8. С другой стороны, 987 при делении на 8 даёт остаток 3, поэтому  987ⁿ + 1  при делении на 8 даёт остаток 4 или 2. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	2