Условие
В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла
равны
120
o. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие
одинаковую длину.
Решение
Если точки
A,
B,
C лежат на окружности и
ABC = 120
o, то
отрезок
BC виден из центра окружности под углом
120
o. Поэтому
ситуация, когда углы, под которыми видны три диагонали 7-угольника,
соответствующие углам
120
o, не пересекаются, невозможна (помимо этих
трёх углов есть ещё угол, под которым видна одна из сторон). Таким образом,
два угла
120
o примыкают к одной стороне. Но тогда соседние с ней
стороны равны.
Источники и прецеденты использования
