Задача 79303

Темы:    [ Показательные неравенства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Какое из двух чисел больше:

  а)     (n двоек) или   (n − 1  тройка);

  б)     (n троек) или     (n − 1  четвёрка).

Решение

  а) Пусть  a_n =     (n двоек),   b_n =     (n – 1  тройка). При  n = 2  2² > 3.  Докажем по индукции, что  a_n < b_n  при  n ≥ 3.
  База:  2^2² < 3³.
  Шаг индукции.  a_n+1 = 2^a_n < 2^b_n < 3^b_n = b_n+1.

  б) Пусть  c_n =     (n троек),   d_n =     (n – 1  четвёрка). Докажем, что  c_n > 2d_n.
  База  (n = 2)  3³ > 2·4.
  Шаг индукции.  c_n+1 = 3^c_n > 3^2d_n = 9^d_n > 8^d_n > 2·4^d_n = 2d_n+1.

Ответ

а) Второе число при  n ≥ 3;   б) первое число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	38
Год	1975
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	38
Год	1975
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	38
Год	1975
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1