ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79303
Темы:    [ Показательные неравенства ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое из двух чисел больше:

  а)     (n двоек) или   (n − 1  тройка);

  б)     (n троек) или     (n − 1  четвёрка).


Решение

  а) Пусть  an =     (n двоек),   bn =     (n – 1  тройка). При  n = 2  22 > 3.  Докажем по индукции, что  an < bn  при  n ≥ 3.
  База:  2 < 3³.
  Шаг индукции.  an+1 = 2an < 2bn < 3bn = bn+1.

  б) Пусть  cn =     (n троек),   dn =     (n – 1  четвёрка). Докажем, что  cn > 2dn.
  База  (n = 2)  3³ > 2·4.
  Шаг индукции.  cn+1 = 3cn > 32dn = 9dn > 8dn > 2·4dn = 2dn+1.

Ответ

а) Второе число при  n ≥ 3;   б) первое число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .