Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 5 других?

   Решение

---

На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 12 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?

   Решение

---

По кругу стоят 50 чисел (необязательно целых). Известно, что произведение любых 25 чисел отличается от произведения 25 остальных не более чем на 2. Докажите, что какие-то два соседних числа отличаются не более чем на 2.

   Решение

Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Средние величины ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
  а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
  б) Постройте пример такого турнира семи команд.
  в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Решение

  а) Рассматривая произвольную команду A вместе с одной из команд B, которой A проиграла, мы видим, что B должна проиграть хотя бы одной команде из числа выигравших у A. Иными словами, все команды, выигравшие у A, проиграли хотя бы по одному матчу в играх друг с другом. Значит, число команд, выигравших у A, не меньше трёх. Но среди всех наших команд должна найтись команда, которая выиграла не меньше матчей, чем проиграла (иначе общее число побед было бы меньше общего числа поражений). Эта команда не менее трёх раз проигрывала и не менее трёх раз выигрывала, что возможно лишь в случае, когда число команд не меньше семи.

  б) Сопоставим каждой из команд вершину выпуклого семиугольника. Победу команды A над командой B обозначим стрелкой, проведённой из точки A в точку B. Рисунок показывает возможность удовлетворить условиям задачи.

  в) Пусть команда A выиграла не меньше встреч, чем проиграла. Проверяя выполнение условия задачи для всевозможных троек, составленных из команды A и двух команд, выигравших у неё, мы видим, что команды, победившие A, образуют множество, удовлетворяющее а). Следовательно, их не меньше семи. Команда A не менее семи встреч выиграла и не менее семи проиграла; следовательно, всего в турнире участвовало не менее 15 команд.

Замечания

На Московской олимпиаде в 8 кл. предлагался п. а), в 9 кл. – пп. а) и в), в 10 кл. – п. в).

Источники и прецеденты использования