Задача 79342

Темы:    [ Перпендикулярные прямые в пространстве ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

Решение

Ответ: n = 2.
Предположим, что n ≥ 3. Возьмём три отрезка a, b и c и проведём три прямые, соединяющие попарно их середины. Каждый из отрезков a, b, c перпендикулярен двум прямым, выходящим из его середины, поэтому он перпендикулярен и плоскости, проходящей через все три проведённые прямые. Тем самым три отрезка a, b, c параллельны одной плоскости, что противоречит условию. (Статья ХХХ "Задачи XL ММО — ответы, указания, решения", Квант 1978 номер 2 с. 64, задача 10)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	40
Год	1977
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1