Условие
Коля и Витя играют в следующую игру на бесконечной клетчатой бумаге. Начиная с
Коли, они по очереди отмечают узлы клетчатой бумаги — точки пересечения
вертикальных и горизонтальных прямых. При этом каждый из них своим ходом
должен отметить такой узел, что после этого все отмеченные узлы лежали в
вершинах выпуклого многоугольника (начиная со второго хода Коли). Тот из
играющих, кто не сможет сделать очередного хода, считается проигравшим. Кто
выигрывает при правильной игре?
Решение
Ответ: Витя. После первого хода Коли Витя мысленно отмечает произвольный
узел
O, отличный от того, который отметил Коля. Затем он каждый раз
отмечает узел, симметричный относительно
O тому узлу, который отметил Коля.
Ясно, что при этом снова получается выпуклый многоугольник. После шести ходов
получается центрально симметричный шестиугольник. В дальнейшем можно отмечать
только узлы, лежащие в шести треугольниках, образованных сторонами
шестиугольника и продолжениями сторон. Поэтому у Коли есть только конечное
число возможных ходов.
Источники и прецеденты использования
