Задача 79377

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Доказать, что максимальное количество сторон выпуклого многоугольника, стороны которого лежат на диагоналях данного выпуклого 100-угольника, не больше 100.

Решение

Пусть стороны выпуклого n-угольника лежат на диагоналях данного 100-угольника. Для каждой стороны n - угольника рассмотрим диагональ, на которой она лежит, и отметим её концы. Всего будет отмечено 2n точек. Из каждой вершины данного 100-угольника выходит не более двух таких диагоналей, поэтому каждая вершина отмечена не более двух раз. Следовательно, 2n ≤ 2 · 100, т.е. n ≤ 100.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	43
Год	1980
вариант
Класс	7
задача
Номер	3